задача 1 7 класс пп

Задача 1

За некоторое время велосипедист проехал 5 км со скоростью 10 км/ч. Какое расстояние он проедет за то же время, увеличив свою скорость в полтора раза?

Решение

При постоянном значении времени пройденный путь и скорость величины прямо пропорциональные. Поэтому с увеличением скорости в полтора раза, значение пути тоже увеличится в столько же раз.

Значит, он проедет 5 · 1,5 = 7,5 (км).

Ответ: 7,5 км

Задача 2

На некотором участке газопровода трубы длиной 4 м заменили на трубы длиной 5 м. Сколько нужно новых труб для замены 100 старых?

Решение

Так как увеличение длины труб приведет к уменьшению их количества на одном и том же участке газопровода, то зависимость обратно пропорциональная. Составим схему по условию.

Запишем пропорцию: 4/5 = x/100.

Откуда, x = (4 · 100)/5 = 80 (труб).

Ответ: 80 труб

Как видим, если в условии задачи рассматриваются две величины, то решение достаточно простое, главное правильно определить вид зависимости. Но как быть, если рассматривается зависимость между тремя величинами?

Задача 3

За 5 дней 3 маляра окрашивают 60 окон. За сколько дней 2 маляра покрасят 48 окон?

Решение

Примем количество рабочих за постоянную величину (то есть работу выполняют постоянно 3 маляра) и рассмотрим зависимость между двумя величинами. Так как для покраски меньшего числа окон потребуется меньше дней при одном и том же количестве рабочих, то зависимость прямая.

Запишем пропорцию: 5/x = 60/48.

Откуда, x = (5 · 48)/60 = 4 (дня) – за столько дней покрасят 48 окон 3 маляра.

Для того, чтобы найти за сколько дней покрасят эти же 48 окон 2 маляра, составим таблицу, учитывая что постоянной величиной есть количество окон. Так как для меньшего числа рабочих потребуется больше дней для выполнения одного и того же задания, то зависимость обратная.

Пропорция будет такой: 4/x = 2/3.

Откуда, x = (4 · 3)/2 = 6 (дней) – за столько дней покрасят 48 окон 2 маляра.

Ответ: 6 дней

Потребность разделить величину или число в данном отношении часто возникает в практической жизни человека, например, во время приготовления блюд, разделения прибыли между партнерами по бизнесу и т.п. Поэтому важно владеть навыками решения задач на пропорциональное деление. Рассмотрим несколько примеров.

Задача 4

Три компаньона вложили в организацию предприятия соответственно 280, 320 и 360 долларов. Прибыль, которую они получили, составила 2400 долларов. Сколько денег из прибыли получить каждый компаньон, если прибыль распределяется пропорционально вкладу каждого?

Решение

Обозначим части прибыли, которые они должны получить, соответственно:
a : b : c = 280 : 320 : 360.

Упростим отношение:
a : b : c = 280 : 320 : 360 = 28 : 32 : 36 = 7 : 8 : 9.

Так как величины пропорциональны, то пусть x – коэффициент пропорциональности (одна часть прибыли). Тогда, a = 7x, b = 8x, c = 9x. Сумма частей должна равняться прибыли, тогда уравнение будет иметь вид:

7x + 8x + 9x = 2400.

Откуда x = 100 (дол). Следовательно, первый компаньон должен получить из прибыли:
7 · 100 = 700 (дол), второй 8 · 100 = 800 (дол), а третий 9 · 100 = 900 (дол).

Ответ: 700, 800, 900 дол.

Задача 5

Периметр треугольника АВС равен 32,5 см. Найти стороны треугольника, если АВ относится к ВС как 3 : 4, а ВС относится к АС как 2 : 3.

Решение

Трудность заключается в том, что дано отношение не трех сторон, а первой ко второй и второй к третьей. Рассмотрим эти отношения:
АВ : ВС = 3 : 4
ВС : АС = 2 : 3

Уравняем количество частей стороны ВС в первом и втором равенствах. Для этого второе отношение умножим на 2. Получим:
АВ : ВС = 3 : 4
ВС : АС = 4 : 6

Теперь можем записать отношение трех сторон АВ : ВС : АС = 3 : 4 : 6. Тогда АВ = 3x, ВС = 4x, АС = 6x, где x – коэффициент пропорциональности.

Решая уравнение 3x + 4x + 6x = 32,5, получаем, что x = 2,5 (см).

Следовательно, стороны треугольника: АВ = 3 · 2,5 = 7,5 (см); ВС = 4 · 2,5 = 10 (см); АС = 6 · 2,5 = 15 (см).

Ответ: 7,5; 10; 15 см

Задачи на пропорции