Задачи 9 класс

Тема 01

Исследование свойств и построение графиков линейных функций вида y = kx + b. Решаем задачи на определение коэффициентов и анализ графика.

1 Найдите уравнение прямой, проходящей через точки A(2; 3) и B(4; 7). Постройте её график.
2 Прямая проходит через начало координат и точку M(4; -2). Найдите коэффициент пропорциональности k и уравнение прямой.
3 Постройте график функции y = 3x - 6. Найдите площадь треугольника, образованного прямой и осями координат.
4 Установите, при каких значениях m прямая y = (m-1)x + 3 параллельна прямой y = 2x - 5.

Тема 02

Анализ основных характеристик любой функции: область определения, чётность, интервалы монотонности и экстремумы.

1 Определите область определения функции y = √(x - 3) + 1/(x + 2). Запишите её в виде промежутка.
2 Является ли функция y = x³ - 2x чётной, нечётной или ни той, ни другой? Докажите.
3 Найдите интервалы возрастания и убывания функции y = -x² + 4x - 3. Определите максимум и минимум.
4 По графику функции определите: а) область значений; б) знаки функции на промежутке [-2; 4].

Тема 03

Парабола и её свойства — важнейшая тема 9 класса. Исследование функции y = ax² + bx + c и решение квадратных уравнений.

1 Найдите координаты вершины параболы y = 2x² - 8x + 6. Постройте график.
2 Решите уравнение x² - 5x + 6 = 0 графическим методом, используя график функции y = x² - 5x + 6.
3 При каких значениях m парабола y = x² + mx + 4 касается оси Ox? Найдите точки касания.
4 Составьте уравнение параболы, которая получается из графика y = x² параллельным переносом: а) на 3 вправо и на 2 вниз; б) на 1 влево и на 4 вверх.

Тема 04

Решение задач с использованием графиков функций. Графический метод решения уравнений и неравенств.

1 Решите уравнение |x - 2| = 3 графическим методом. Постройте графики обеих частей уравнения.
2 Решите неравенство x² - 4x + 3 > 0. Запишите решение в виде объединения промежутков.
3 Найдите количество корней уравнения x³ - 3x = 0. Запишите их, используя график функции y = x³ - 3x.
4 Решите систему уравнений графическим методом: y = x² - 2 и y = 2x - 3.

Тема 05

Умение строить и трансформировать графики функций. Метод ключевых точек, параллельный перенос, растяжение и отражение.

1 Постройте график функции y = |x - 1| + 2. Используйте метод ключевых точек.
2 Получите график функции y = x³ из графика y = x² путём: а) растяжения вдоль оси Oy в 2 раза; б) отражения относительно оси Ox.
3 Постройте график функции y = √(x + 3) - 1. Определите область определения и область значений по графику.
4 Составьте уравнение функции, график которой получен из графика y = 1/x параллельным переносом на 2 вправо и на 3 вниз.

Тема 06

Применение функций в реальных жизненных ситуациях. Задачи на движение, экономику, физику и оптимизацию.

1 Автомобиль едет со скоростью 60 км/ч. Постройте график зависимости пройденного пути от времени. Через сколько часов автомобиль проедет 180 км?
2 Цена товара снизилась на 20%. Постройте график зависимости новой цены от первоначальной. При какой первоначальной цене новая цена составит 800 рублей?
3 Тело брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/ч. Формула высоты: h(t) = 20t - 5t². Найдите максимальную высоту и время полета.
4 Из квадратного листа металла 40×40 см вырезают углы и сгибают коробку. Найдите максимальный объем коробки.