Tilda Publishing

Математические функции

Дадим строгое определение функции. Функция – это соответствие между двумя множествами такое, что каждому элементу одного множества X ставится в соответствие единственный элемент другого множества Y. Первое множество называют областью определения функции, а второе – областью значений функции. Обозначают: D(y) и E(y) соответственно.
Пример 1: задана функция, которая ставит в соответствие каждому человеку размер его обуви. Область определения функции D(y) – множество людей, область значений функции E(y) – множество размеров обуви.
Пример 2: задана функция, которая ставит в соответствие каждому дню месяца среднюю температуру воздуха. Область определения функции D(y) – множество дней месяца, область значений функции E(y) – множество температур

В математике мы чаще будем работать с одним из видов функций – числовыми функциями. Числовая функция – это функция, областью определения D(y) и областью значений E(y) которой являются числовые множества. Например, функция пройденного пути в зависимости от времени (при равномерном движении): S=vt. Такая функция является числовой.

Числовые функции можно задавать разными способами.

1. Словесный.
2. Аналитический.
3. Графический.
4. Табличный.

В рассмотренном выше примере мы задали функцию с помощью формулы, такое способ задания называется аналитическим. Рассмотрим другой пример. Каждому числу поставим в соответствие его квадрат. Это функция. На самом деле это будет функция площади квадрата в зависимости от длины его стороны: S=  (если мы оговорим, что a > 0.
Мы будем изучать различные числовые функции. Что вообще можно в них изучать? У функций могут быть наибольшие и наименьшие значения – максимумы и минимумы, функции могут возрастать и убывать и т.д. Все эти свойства функций помогают решать конкретные прикладные задачи (например, нахождение оптимальных параметров, при которых та или иная величина достигает своего максимума – доход, эффективность и т.д., или минимума – расход, количество ошибок и т.д.). Но для того, чтобы решать задачи, нужно выделить общие свойства функций и изучить их.

В примере с площадью квадрата мы сказали, что  . Т.е. наложили некоторое ограничение на область определения функции: . Получается, что  и  – это две различные функции? Да, именно так, потому что первая функция определена при неположительных значениях переменной (Рис. 1), а вторая – нет (Рис. 2).

Рис 1.

Рис 2.

То есть для задания функции, вообще говоря, недостаточно просто задать формулу соответствия. Необходимо ещё указать области определения и значений функции. Но чаще всего этого не делают, предполагая, что они естественные. Естественная область определения при аналитическом задании – это область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.