Базовые функции

В математике различных арифметических операций не так много. Вы уже знаете о сложении, вычитании, умножении, делении, возведении в целую степень и извлечении квадратного корня. В старших классах вы еще познакомитесь с возведением в рациональную степень и логарифмированием.

Это базовые кирпичики, из которых строится любое алгебраическое выражение, именно с помощью операций мы можем задавать различные функции. Рассмотрим простейшие функции, которые можно задать с помощью этих операций. Это тоже будут своего рода кирпичики, с помощью которых можно будет изучать свойства более сложных функций. Для каждой из них определим область определения и область значений, а также построим их графики.

1. Линейная функция сочетает в себе операции умножения на число, сложение/вычитание. Общий вид (см. рис. 10):
y(x) = kx + b

Рис. 10. График линейной функции y(x) = kx + b

Область определения – все действительные числа, ведь нет деления на переменную или извлечения корня. В случае когда
область значений – все действительные числа.

Если же k = 0, то получаем функцию:
y(x) = b;

Т. е. любому числу x мы ставим в соответствие фиксированное число b. Областью значений будет одно число y = b. График линейной функции – прямая линия (см. рис. 11).

Рис. 11. График линейной функции y(x) = b

2. Обратная пропорциональность

Операция – деление на переменную. Область определения:
Область значений:          ведь дробь может быть равна нулю только в случае, если числитель равен нулю.
График функции можно построить по точкам:

Получим следующий вид графика (см. рис. 12), который называется гиперболой.

Рис. 12. Гипербола

Обратите внимание, что гипербола состоит из двух веток, которые расположены в 1 и 3 четвертях и которые стремятся к осям координат, но не пересекают их.
Оси координат для гиперболы являются асимптотами (от греческого «несовпадающий»), т. е. прямыми, к которым график функции на бесконечности подходит все ближе и ближе (расстояние от прямой до графика функции стремится к нулю).

3.Квадратичная функция:

Область определения – все действительные числа: R. Область значений: y > 0, поскольку квадрат числа – неотрицательная величина.

График строим по точкам:

Полученная кривая называется квадратичная парабола или просто парабола (см. рис. 13).

Рис. 13. Парабола

Обратите внимание, что парабола симметрична относительно оси ординат (чуть позже мы поговорим, с чем связано это свойство) и что у нее тоже есть две ветви (левая и правая).

4. Кубическая функция:

Кубическая функция: y(x) = x³

Область определения и область значений – все действительные числа: R. Построив по точкам график, получим кубическую параболу (см. рис. 14):

Рис. 14. Кубическая парабола

5. Функция квадратного корня:

Область определения:
область значений:

ведь по определению арифметический квадратный корень – это неотрицательная величина.

Построив по точкам график, получим следующую кривую (см. рис. 15):

Рис. 15. График функции квадратного корня

Она имеет ту же форму, что и часть параболы. Ее так и называют – ветвь параболы. То, что графики похожи, – это не совпадение, об этом мы поговорим в последней части нашего урока.

6. Функция модуля:

y(x) = |x|

Вспомним еще одну математическую конструкцию – модуль числа:

Область определения – все действительные числа: R;
Область значений:
поскольку модуль – это неотрицательная величина.

График можно построить, раскрыв модуль. Для неотрицательных значений x получим график функции y(x) = x. Для отрицательных будет график функции: y(x) = -x
Полученная кривая – и есть график функции y(x) = |x| («галочка») (см. рис. 16).

Рис. 16. График функции модуля

Мы разобрали простейшие функции с использованием различных операций. Для линейной функции мы рассмотрели ее общий вид, для остальных функций лишь их частные случаи.