Рассмотрим задачу. Найдем зависимость массы соснового бруска (m) от его объема (V). Плотность соснового бруска 5,2 г/см3, тогда m = 5,2V. Во сколько раз увеличиваем или уменьшаем объем, во столько раз увеличивается или уменьшается его масса. Функцию такого вида называют прямой пропорциональностью.
Прямой пропорциональностью называют функцию вида у = kx, где х – независимая переменная, а k – не равное нулю число.
k – коэффициент прямой пропорциональности.
k = yx
То есть k показывает, во сколько раз у больше (или меньше) x.
Построим график прямой пропорциональности. Рассмотрим, например, функцию у = 2х. Найдем несколько значений этой функции.
X = -2, -1, 0, 1, 2
Y = -4, -2, 0, 2, 4

Мы видим, что графиком функции является прямая, проходящая через начало координат. И действительно, если в формулу у = kх подставить значение х = 0, то у всегда будет равен 0. Таким образом, график прямой пропорциональности – это прямая, проходящая через начало координат. Этот факт мы используем для того, чтобы в дальнейшем упростить процесс построения графика. Для того, чтобы построить прямую, надо знать всего 2 точки, через которые она проходит. Одна из них – начало координат, точка с координатами (0;0). Вторую точку найдем, подставив любое значение х в формулу.

1. Область определения D(y) =(- ∞;∞);
2. Область значений Е(у) = (- ∞;∞);
3. Точки пересечения с осями координат х=0, у=0
4. Ответим на вопрос: при каких значениях k функция у=kх возрастает, а при каких – убывает. Возрастает – это значит, что когда увеличивается х, то увеличивается и у. А убывает – это значит, что при увеличении значений х, значения у уменьшаются.

Рассмотрим к>0.
Мы уже строили график функции у = 2х. Давайте посмотрим на него. Мы видим, что с увеличением х увеличиваются и значения функции у. Таким образом, при к>0 функция возрастает, ее график располагается в первой и третьей координатных четвертях.

Рассмотрим k<0.
Пусть k = -2. Построим график функции у = -2х

Мы видим, что с увеличением х значения функции у уменьшаются. Таким образом, при k<0 функция убывает, ее график располагается во второй и четвертой координатных четвертях.

Линейная функция

Определим линейную функцию в общем случае из линейного уравнения с двумя переменными:

ax + by + c =0
by = -ax - c
Поскольку b ≠ 0 можем обе части поделить на b:


Введем более удобные обозначения:

Получаем выражение:
y = kx + m

Таким образом, пара чисел k и m задают конкретную линейную функцию.
Введем некоторую терминологию.
В линейной функции переменную х называют независимой переменной или аргументом функции, мы сами можем выбирать произвольное значение х и по нему находить соответствующее значение у.
y называют зависимой переменной или функцией.
Линейная функция характеризуется тем, что если задано значение х, можно сразу получить значение у.
у — это линейная функция от х.
Найдем для линейной функции в общем виде (3) точки пересечения с осями. Для всех точек на оси у характерно то, что их абсцисса — координата х, равна нулю.
x = 0, y = m;
Точка пересечения с осью у: (0, m)
Отсюда геометрический смысл переменной m — это ордината точки пересечения прямой 3 с осью у. Параметр m однозначно задает точку пересечения прямой 3 с осью ординат.
Параметр k носит название угловой коэффициент.
Для всех точек на оси х характерно то, что их ордината равна нулю.

Решение примера, выявление свойств параметров линейной функции

Пример 1:

Построим графики двух линейных функций: y = x + 3 (4), y = -x +3 (5)
В функции 4 k = 1 > 0, m =3
В функции 5 k = -1 <0, m = 3
Для построения графиков составим таблицы, в которых запишем точки их пересечения с осями координат:

Таблица для функции 4

Таблица для функции 5

Рис.2. Графики функций y = -x+3 и y = x+3

Итак, из построения мы видим, что когда k > 0 (прямая y = x +3 ) угол a₁ между прямой и положительным направлением оси х острый, а когда k < 0(прямая y = -x + 3 ) угол a₂ между прямой и положительным направлением оси х тупой.
Корнем функции 4 является число -3, потому что именно при этом значении х функция обращается в ноль.
Корнем функции 5 является число 3, так как при данном значении х функция обращается в ноль.